Оглавление

Введение

Глава 1. Теория погрешности

1.1. Понятие вычислительного эксперимента

1.2. Особенности машинной вещественной (real) арифметики

1.3. Несколько примеров

1.4. Основные понятия теории погрешности

1.5. Погрешность выполнения арифметических операций (линейная теория)

1.6. Понятие о вероятностной оценке погрешности

1.7. Обратная задача теории погрешности

Глава 2.

Численные методы решения систем линейных алгебраических

уравнений (прямые методы)

2.1. Постановка задачи

2.2. Вычислительная устойчивость методов решения СЛАУ

2.3. Нормы векторов и матриц

2.4. Число обусловленности матрицы

2.5. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса

2.6. Метод LU-разложения

   2.6.1. Алгоритм LU-разложения

   2.6.2. Матричное представление LU-разложения

2.7. Некоторые задачи, решаемые с помощью LU-разложения

   2.7.1. Итерационное уточнение в методе LU-разложения

   2.7.2. Вычисление определителя

   2.7.3. Обращение матрицы

2.8. Метод Гаусса для матриц специального вида

   2.8.1. Метод квадратного корня (метод Холецкого) для симметричных матриц

   2.8.2. Метод прогонки для трехдиагональных матриц

2.9. Некоторые специфические методы и задачи, связанные с решением СЛАУ

   2.9.1. Метод возмущений

   2.9.2. Решение некорректных задач

Глава 3.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.1. Основные понятия

3.2. Методы построения матрицы перехода

   3.2.1. Метод Якоби

   3.2.2. Метод Зейделя

   3.2.3. Метод релаксации

   3.2.4. Метод простой итерации

3.3. Каноническая форма одношаговых итерационных методов

3.4. Скорость сходимости итерационных процессов

3.5. Нестационарные итерационные методы

   3.5.1. Явный итерационный метод с Чебышевским набором параметров

   3.5.2. Метод минимальных невязок

   3.5.3. Метод скорейшего спуска

   3.5.4. Метод сопряженных градиентов

Глава 4.

Проблема собственных значений

4.1. Постановка задачи

4.2. Вычислительная устойчивость решения проблемы собственных значений

4.3. Метод Крылова раскрытия векового определителя

4.4. Метод Данилевского

4.5. Итерационный метод вращений (метод Якоби)

4.6. Степенной (итерационный) метод определения главного собственного значения

Глава 5.

Решение нелинейных уравнений

5.1. Постановка задачи

5.2. Численные методы решения одного уравнения с одним неизвестным

   5.2.1. Метод половинного деления (дихотомия)

   5.2.2. Метод простой итерации

   5.2.3. Метод Ньютона

   5.2.4. Метод секущих

   5.2.5. Метод хорд

   5.2.6. Комбинированный метод (касательных и хорд)

   5.2.7. Методы повышенной скорости сходимости

5.3. Численные методы решения систем нелинейных уравнений

   5.3.1. Метод простой итерации

   5.3.2. Метод Ньютона

   5.3.3. Метод секущих

   5.3.4. Нахождение корней алгебраического уравнения

Глава 6.

Решение задач на поиск экстремумов

6.1. Постановка задачи

6.2. Методы нахождения экстремумов функции одной переменной

   6.2.1. Метод пассивного поиска

   6.2.2. Метод деления отрезка пополам

   6.2.3. Метод золотого сечения

   6.2.4. Метод градиентного спуска

6.2. Многомерный случай нахождения экстремумов функции

   6.2.5. Метод пассивного поиска

   6.2.6. Метод покоординатного спуска

   6.2.7. Метод градиентного спуска

   6.2.8. Метод штрафных функций

Глава 7.

Теория приближений

7.1. Постановка задач приближения функций

7.2. Интерполирование функций

   7.2.1. Интерполяция полиномами, постановка и разрешимость задачи

   7.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа

   7.2.3. Интерполяционная формула Ньютона

   7.2.4. Интерполяционные полиномы Эрмита

   7.2.5. Интерполирование многомерных функций

   7.2.6. Сходимость интерполяционных процессов

   7.2.7. Решение некоторых задач с помощью интерполирования

7.3. Наилучшие приближения в линейных функциональных пространствах

   7.3.1. Постановка задачи

   7.3.2. Среднеквадратичное приближение

   7.3.3. Наилучшее равномерное приближение

   7.3.4. Ортогональные многочлены Чебышева

   7.3.5. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье

Глава 8.

Элементы теории сплайнов

8.1. Постановка задачи

8.2. Интерполяционный кубический сплайн дефекта 1

8.3. Базисные сплайны с финитными носителями

   8.3.1. Постановка задачи, определения.

   8.3.2. Базисные сплайны первого порядка

   8.3.3. Базисные сплайны третьего порядка

8.4. Экстремальные свойства кубических сплайнов дефекта 1

8.5. Сглаживающие сплайны

8.6. Многомерная интерполяция сплайнами

Глава 9.

Численное дифференцирование и интегрирование

9.1. Численное дифференцирование

   9.1.1. Постановка задачи

   9.1.2. Конечно- разностная аппроксимация производных

   9.1.3. Сплайн-аппроксимация производных

   9.1.4. Вычислительная погрешность формул численного дифференцирования

9.2. Численное интегрирование

   9.2.1. Постановка задачи

   9.2.2. Формулы Ньютона–Котеса

   9.2.3. Квадратурные формулы Гаусса

   9.2.4. Интегралы от быстро осциллирующих функций и несобственные интегралы

   9.2.5. Обобщенные квадратурные формулы. Оценка аппроксимации методом Рунге

   9.2.6. Устойчивость численного интегрирования

   9.2.7. Вычисление многомерных интегралов (кубатурные формулы)

   9.2.7. Вычисление многомерных интегралов (метод Монте- Карло)

Глава 10.

Численное решение обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений

10.1. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

10.2. Методы решения задачи Коши для ОДУ

    10.2.1. Решение задачи Коши для ОДУ с помощью формулы Тейлора

    10.2.2. Методы Рунге–Кутты

    10.2.3. Многошаговые методы

10.3. Методы решения краевых задач

    10.3.1. Метод «стрельб»

    10.3.2. Конечно- разностные схемы

    10.3.3. Метод конечных элементов

    10.3.4. Методы решения в функциональных базисах

10.4. Решение интегральных уравнений

    10.4.1. Постановка задачи

    10.4.2. Методы вырожденного ядра для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода

    10.4.3. Метод квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода

Глава 11.

Метод конечных разностей для решения уравнений в частных производных

11.1. Постановка задач

    11.1.1. Уравнения эллиптического типа

    11.1.2. Уравнение параболического типа

    11.1.3. Уравнение гиперболического типа

11.2. Конечно- разностные схемы для решения уравнения теплопроводности

    11.2.1. Явная конечно- разностная схема

    11.2.2. Неявная конечно- разностная схема

    11.2.3. Двухслойная неявная схема с весами (схема Кранка–Николсона)

    11.2.4. Устойчивость решения

    11.2.5. Консервативные разностные схемы

    11.2.6. Многомерный случай

11.3. Уравнения эллиптического типа

11.4. Гиперболические уравнения